设x>0,y>0,且x≠y,求证:(x^3+y^3)^1/3<(x^2+y^2)^1/2

由于x>0，y>0，得到(x^3+y^3)^1/3>0,(x^2+y^2)^1/2>0,
不等式两边同时六次方，不等号方向不变
x^6+2*x^3*y^3+y^6<x^6+3*x^4*y^2+3*x^2*y^4+y^6
只需证
2*x^3*y^3<3*x^4*y^2+3*x^2*y^4
由于x≠y≠0，不等号两边同除以x^2*y^2，不等号方向保持不变
2*x*y<3*x^2+3*y^2
而3*x^2-2*x*y+3*y^2=3*(x-y*1/3)^2+y^2*2/3>0显然成立，所以得证

左右两边6次方
只须证明(x^2+y^2)^3>(x^3+y^3)^2
打开后x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6>x^6+2x^3y^3+y^6
即3x^4y^2+3x^2y^4>x^3y^3
约去正项x^2y^2后并移项 有2x^2+2y^2+(x-y)^2>0显然成立
上述各步可逆，所以得证